设向量组a1 a2 am线性相关 且a1≠0 证明存在某个向量ak(2≤k≤m) 使ak能由a1 a

正确答案：反证法：即证若不存在满足题中所要求的向量则向量组a₁…a_m必线性无关． 设有k₁a₁+k₂a₂+…+k_ma_m=0① 由于向量a_m不能由其前面的m一1个向量线性表示 故k_m=0； 由于向量a_m-1不能由其前面的m一2个向量线性表示故k_m-1=0 同理k_m-2=k_m-3=…=k₂=0． 于是式①成为 k₁a₁=0． 但由题设a₁≠0于是k₁=0．这样若式①成立必有所有系数k₁k₂…k_m均为零由定义知向量组a₁a₂…a_m线性无关此与题设该向量组线性相关矛盾．因此命题成立．
反证法：即证若不存在满足题中所要求的向量,则向量组a1,…,am必线性无关．设有k1a1+k2a2+…+kmam=0,①由于向量am不能由其前面的m一1个向量线性表示,故km=0；由于向量am-1不能由其前面的m一2个向量线性表示,故km-1=0,同理,km-2=km-3=…=k2=0．于是式①成为k1a1=0．但由题设a1≠0,于是k1=0．这样,若式①成立,必有所有系数k1,k2,…,km均为零,由定义知向量组a1,a2,…,am线性无关,此与题设该向量组线性相关矛盾．因此,命题成立．