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设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是一实二次型，λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λ1≤λ2≤…≤λn证明：对设α，β是欧氏空间
设α，β是欧氏空间中两个不同的单位向量．证明：存在一个镜面反射T，使T(α)=β
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参考解答
456***101
2024-11-12 02:58:25
正确答案：记n维欧氏空间为V当n为欧氏空间V的单位向量时由T(γ)=r－2(ηγ)叩(γ∈V)所确定的正交变换T是一个镜面反射代入单位向量α有T(α)=α－2(ηα)η若记β=α－2(ηα)η则α－β=2(ηα)η因为αβ是欧氏空间中两个不同的单位向量所以(ηα)≠0故可解得
又有
即
．于是只要取
就有(ηη)=1即η为欧氏空间V中的单位向量从而T是一个镜面反射且T(α)=α－2(ηα)η=β．
记n维欧氏空间为V,当n为欧氏空间V的单位向量时,由T(γ)=r－2(η,γ)叩(γ∈V)所确定的正交变换T是一个镜面反射,代入单位向量α,有T(α)=α－2(η,α)η,若记β=α－2(η,α)η,则α－β=2(η,α)η,因为α,β是欧氏空间中两个不同的单位向量,所以(η,α)≠0,故可解得,又有即．于是只要取,就有(η,η)=1,即η为欧氏空间V中的单位向量,从而T是一个镜面反射,且T(α)=α－2(η,α)η=β．
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