证明：函数z－2是函数 证明 f(z)==z＋z2＋z6＋…＋zn!＋… 以单位圆周｜z｜=1为自然

正确答案：f(z)=的收敛半径R=1． 下面用反证法倘若｜z｜=1不是f(z)的自然边界则在｜z｜=1上就有一段弧完全由f(z)的正则点所组成而其中有无穷多个形如z₀=(pq是自然数)的点实际上形如z₀=的点在｜z｜=1上是稠密的(即｜z｜=1上任一点z的任意邻域内都含有形如z₀的点)．所以我们只要证明这样的点不是f(z)的正则点即可亦即只须证明当z→z₀时f(z)→∞即可．为此令z=ρz₀(0＜ρ＜1)则 因此适当地选择ρ₀对于所有的ρ值(ρ₀＜ρ＜1)就必然有｜f(z)｜＞N由于N是一个可以任意大的正整数故有当点z沿半径趋向于点z₀(ρ→1)时｜f(z)｜→∞．
f(z)=的收敛半径R=1．下面用反证法,倘若｜z｜=1不是f(z)的自然边界,则在｜z｜=1上就有一段弧完全由f(z)的正则点所组成,而其中有无穷多个形如z0=(p,q是自然数)的点,实际上形如z0=的点在｜z｜=1上是稠密的(即｜z｜=1上任一点z的任意邻域内都含有形如z0的点)．所以我们只要证明这样的点不是f(z)的正则点即可,亦即,只须证明,当z→z0时,f(z)→∞即可．为此,令z=ρz0,(0＜ρ＜1),则因此,适当地选择ρ0,对于所有的ρ值(ρ0＜ρ＜1),就必然有｜f(z)｜＞N,由于N是一个可以任意大的正整数,故有,当点z沿半径趋向于点z0(ρ→1)时,｜f(z)｜→∞．