Pι+1(x)=xPι(x)+(ι+1)Pι(x)请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！
Pι+1(x)=xPι(x)+(ι+1)Pι(x)
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参考解答
432***102
2024-11-17 22:15:25
正确答案：因为
比较tι项的系数有 xPι(x)-Pι-1(x)=(ι+1)Pι+1(x)-2xιPι(x)+(ι-1)Pι-1(x)整理即得 (2ι+1)xPι(x)=(ι+1)Pι+1(x)+ιPι-1(x) ①将式①对x求导可以得到 (2ι+1)Pι(x)+(2ι+1)xP'ι(x)=(ι+1)P'ι+1(x)+ιP'ι-1(x)将此式与本题(1)联立可得递推关系 P'ι+1(x)=xP'ι(x)+(ι+1)Pι(x) ② P'ι-1(x)=xP'ι(x)-2Pι(x) ③由式②可知(2)题得证。
因为比较tι项的系数,有xPι(x)-Pι-1(x)=(ι+1)Pι+1(x)-2xιPι(x)+(ι-1)Pι-1(x)整理即得(2ι+1)xPι(x)=(ι+1)Pι+1(x)+ιPι-1(x)①将式①对x求导,可以得到(2ι+1)Pι(x)+(2ι+1)xP'ι(x)=(ι+1)P'ι+1(x)+ιP'ι-1(x)将此式与本题(1)联立,可得递推关系P'ι+1(x)=xP'ι(x)+(ι+1)Pι(x)②P'ι-1(x)=xP'ι(x)-2Pι(x)③由式②可知(2)题得证。
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