设f(x)为[α b]上的增函数 其值域为[f(α) f(b)] 证明：f(x)在[α b]上连续。
设f(x)为[α，b]上的增函数，其值域为[f(α)，f(b)]，证明：f(x)在[α，b]上连续。
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参考解答
413***102
2024-11-17 21:57:59
正确答案：用反证法假设f(x)在[αb上某点x0不连续则ε0＞0对任意δ＞0存在x∈U(x0；δ)使得｜f(x)-f(x0)｜≥ε0。 f(x)为[αb上的递增函数所以 f(α)≤f(x0)≤f(b) [f(α)f(b)是一个区间由实数的稠密性对ε0存在δ当x0＜x＜x0+δ时有 f(x)-f(x0)＜ε0由假设推出的结论与此矛盾因此假设错误原命题结论成立即f(x)在[αb上连续。
用反证法,假设f(x)在[α,b上某点x0不连续,则ε0＞0,对任意δ＞0,存在x∈U(x0；δ)使得｜f(x)-f(x0)｜≥ε0。f(x)为[α,b上的递增函数,所以f(α)≤f(x0)≤f(b)[f(α),f(b)是一个区间,由实数的稠密性,对ε0,存在δ,当x0＜x＜x0+δ时,有f(x)-f(x0)＜ε0由假设推出的结论与此矛盾,因此假设错误,原命题结论成立,即f(x)在[α,b上连续。
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