设λ1 λ2为n阶矩阵A的特征值 且λ1≠λ2 ξ1 ξ2分别是A的属于λ1 λ2的特征向量 证明ξ
设λ1，λ2为n阶矩阵A的特征值，且λ1≠λ2，ξ1，ξ2分别是A的属于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．
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参考解答
432***101
2024-11-11 05:08:49
正确答案：反证法若ξ1+ξ2为A的属于某特征值λ的特征向量则由定义有 A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)根据已知Aξ1=λ1ξ1Aξ2=λ2ξ2得 Aξ1+Aξ2=λ1ξ1+λ2ξ2=λ(ξ1+ξ2)即有 (λ—λ1)ξ1+(λ—λ2)ξ2=0因为ξ1ξ2属于不同的特征值所以ξ1ξ2线性无关于是 λ—λ1=0λ一λ2=0．亦即有λ=λ1=λ2此与题设矛盾故ξ1+ξ2不是A的特征向量．
反证法,若ξ1+ξ2为A的属于某特征值λ的特征向量,则由定义有A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2),根据已知Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,得Aξ1+Aξ2=λ1ξ1+λ2ξ2=λ(ξ1+ξ2),即有(λ—λ1)ξ1+(λ—λ2)ξ2=0因为ξ1,ξ2属于不同的特征值,所以ξ1,ξ2线性无关,于是λ—λ1=0,λ一λ2=0．亦即有λ=λ1=λ2,此与题设矛盾,故ξ1+ξ2不是A的特征向量．
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