设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r 向量η1 ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解．

正确答案：首先对于任意的k₁…k_n-r+1且满足k₁+…+k_n-r+1=1 上式向量x必满足．Ax=A(k₁η₁+…+k_n-r+1η_n-r+1)． =k₁Aη₁+…+k_n-r+1Aη_n-r+1=(k₁+k₂+…+k_n-r+1)b=b即向量x是原方程组的一个解． 其次反过来设向量β是原方程组的任一解记向量ξ_i=η_i一η_n-r+1i=12…n-r则ξ_i是原方程组的导出组的解且向量组ξ₁ξ₂…ξ_n-r线性无关于是它就是导出组的一个基础解系．这样向量β就可由此基础解系和原方程组的特解η_n-r+1表示即存在数λ₁λ₂…λ_n-r使 β=λ₁ξ₁+…+λ_n-rξ_n-r+η_n-r+1 =λ₁(η₁—η_n-r+1)+…+λ_n-r(η_n-r一η_n-r+1)+η_n-r+1 =λ₁η₁+…+λ_n-rη_n-r+(1一λ₁一λ₂…一λ_n-r)η_n-r+1 =λ₁η₁+…+λ_n-rη_n-r+λ_n-r+1η_n-r+1． 上式中λ_n-r+1=1一λ₁一λ₂…一λ_n-r即λ₁+λ₂+…+λ_n-r+1=1．
首先,对于任意的k1,…,kn-r+1且满足k1+…+kn-r+1=1,上式向量x必满足．Ax=A(k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1)．=k1Aη1+…+kn-r+1Aηn-r+1=(k1+k2+…+kn-r+1)b=b,即向量x是原方程组的一个解．其次,反过来,设向量β是原方程组的任一解,记向量ξi=ηi一ηn-r+1,i=1,2,…,n-r,则ξi是原方程组的导出组的解,且向量组ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关,于是,它就是导出组的一个基础解系．这样,向量β就可由此基础解系和原方程组的特解ηn-r+1表示,即存在数λ1,λ2,…,λn-r使β=λ1ξ1+…+λn-rξn-r+ηn-r+1=λ1(η1—ηn-r+1)+…+λn-r(ηn-r一ηn-r+1)+ηn-r+1=λ1η1+…+λn-rηn-r+(1一λ1一λ2…一λn-r)ηn-r+1=λ1η1+…+λn-rηn-r+λn-r+1ηn-r+1．上式中,λn-r+1=1一λ1一λ2…一λn-r,即λ1+λ2+…+λn-r+1=1．