证明：如果T是正交变换 则T的不变子空间的正交补也是丁的不变子空间．请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：设W是T的任意一个不变子空间下面证W上也是T的不变子空间．取ξ₁ξ₂…ξ_n是W的一组标准正交基将其扩充成n维空间的一组标准正交基ξ₁ξ₂…ξ_mξ_m+1ξ_m+2…ξ_n则W=L(ξ₁ξ₂…ξ_m) W－=L(ξ_mi1ξ_mi2…ξ_n)．因为T是正交变换所以Tξ₁Tξ₂…Tξ_n也是一组标准正交基又由于W是T的任意一个不变子空间Tξ₁Tξ₂…Tξ_m∈W且为W的一组标准正交基于是Tξ_m+1Tξ_m+2…Tξ_n∈W_⊥．任取α=k_m+1+ξ_m+1+…+k_n+ξ_n∈W_⊥那么Tα=k_m+1+Tξ_m+1+k_m+2+Tξ_m+2+…+k_nξ_n∈W_⊥．故W_⊥是T的不变子空间．
设W是T的任意一个不变子空间,下面证W上也是T的不变子空间．取ξ1,ξ2,…,ξn是W的一组标准正交基,将其扩充成n维空间的一组标准正交基ξ1,ξ2,…,ξm,ξm+1,ξm+2,…,ξn,则W=L(ξ1,ξ2,…,ξm),W－=L(ξmi1,ξmi2,…,ξn)．因为T是正交变换,所以Tξ1,Tξ2,…,Tξn也是一组标准正交基,又由于W是T的任意一个不变子空间,Tξ1,Tξ2,…,Tξm∈W,且为W的一组标准正交基,于是Tξm+1,Tξm+2,…,Tξn∈W⊥．任取α=km+1+ξm+1+…+kn+ξn∈W⊥,那么Tα=km+1+Tξm+1+km+2+Tξm+2+…+knξn∈W⊥．故W⊥是T的不变子空间．