设向量组A：a1 a2 … an是一组n维向量 证明向量组A线性无关的充要条件是：任一n维向量均可由

正确答案：必要性：任给n维向量b则n维向量组a₁a₂…a_nb线性相关(因它所含向量个数大于向量的维数)．又因向量组A线性无关由定理可知此时向量b必可由向量组A(唯一地)线性表示． 充分性：设任一n维向量能由向量组A线性表示特别n维单位坐标向量e₁e₂…e_n能由向量组A线性表示．于是由定义向量组E：e₁e₂…e_n能由向量组A线性表示从而由定理3有n=R(E)≤R(A)≤n即R(A)=n从而向量组A线性无关．
必要性：任给n维向量b,则n维向量组a1,a2,…,an,b线性相关(因它所含向量个数大于向量的维数)．又因向量组A线性无关,由定理可知,此时向量b必可由向量组A(唯一地)线性表示．充分性：设任一n维向量能由向量组A线性表示,特别,n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由向量组A线性表示．于是,由定义,向量组E：e1,e2,…,en能由向量组A线性表示,从而由定理3有n=R(E)≤R(A)≤n,即R(A)=n,从而向量组A线性无关．