设H K是群G的两个子群．证明： 1)(H：H ∩ K)≤(G：K)； 2)当(G：K)有限时 则

正确答案：1)令 A={h(H ∩ K)|h∈H B={xK|x∈G则易知φ：h(H ∩ K)→hK是A到B的映射．又因若 h₁K=h₂K (h₁h₂∈H)则h₁^-1h₂∈K从而 h₁^-1h₂∈H∩Kh₁(H ∩ K)=h₂(H ∩ K)．故φ是集合A到B的一个单射从而|A|≤|B|即 (H：H ∩ K)≤(G：K)． 2)当(G：K)有限时设若(H：H ∩ K)=(G：K)则由上知φ是双射．故对任意x∈G必有h∈H使 x∈xK=hKHK．从而GHK因此G=HK． 反之若G=HK则任取左陪集xK(x∈G)令 x=hk (h ∈ Hk ∈ K)则xK=hkK=hK．从而φ是A到B的双射故 (H：H ∩ K)=(G：K)． 注 在1)中(H：H ∩ K)与(G：K)也可以是无限的．
1)令A={h(H∩K)|h∈H,B={xK|x∈G,则易知φ：h(H∩K)→hK是A到B的映射．又因若h1K=h2K(h1,h2∈H),则h1-1h2∈K,从而h1-1h2∈H∩K,h1(H∩K)=h2(H∩K)．故φ是集合A到B的一个单射,从而|A|≤|B|,即(H：H∩K)≤(G：K)．2)当(G：K)有限时,设若(H：H∩K)=(G：K),则由上知,φ是双射．故对任意x∈G必有h∈H,使x∈xK=hKHK．从而GHK,因此G=HK．反之,若G=HK,则任取左陪集xK(x∈G),令x=hk(h∈H,k∈K),则xK=hkK=hK．从而φ是A到B的双射,故(H：H∩K)=(G：K)．注在1)中(H：H∩K)与(G：K)也可以是无限的．