设X与Y独立 证明：对任意实数x1 x2 y1 y2(x12；y12) 事件{x12}与事件{y12

正确答案：证明 由于X与Y独立故(XY)的分布函数F(xy)=F_X(x)F_Y(y)其中F_X(x)F_T(y)分别为XY的边缘分布函数注意到 P{x₁2y₁2 =F(x₂y₂) - F(x₁y₂) - F(x₂y₁)+F(x₁y₁) =F_X(x₂)F_Y(y₂) - F_X(x₁)F_Y(y₂) - F_X(x₂)F_Y(y₁)+F_X(x₁)F_Y(y₁) =(F_X(x₂) - F_X(x₁))(F_Y(y₂) - F_Y(y₁)) =P{x₁2P{y₁2因此事件{x₁2与事件{y₁2)独立．
证明由于X与Y独立,故(X,Y)的分布函数F(x,y)=FX(x)FY(y),其中FX(x),FT(y)分别为X,Y的边缘分布函数,注意到P{x12,y12=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x1)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)+FX(x1)FY(y1)=(FX(x2)-FX(x1))(FY(y2)-FY(y1))=P{x12P{y12,因此事件{x12与事件{y12)独立．