R3中k≠0 τ≠0的C4连通曲线x(s)为球面曲线等价于如果x(s)满足：则或者x(s)为球面曲线

正确答案：如果x(s)满足：则(a)如果对有k'(s)≠0则恒有根据习题1．3．22的充分性知x(s)为一条球面曲线．(b)如果{s ｜k'(s)=0不含区间则对k'(s)≠0的任何s由上述知必有由于{s｜k'(s)=0处处稠密且上式左边为s的连续函数所以在s的定义区间上恒成立．根据习题1-3．22的充分性知x(s)为一条球面曲线． (c)如果在整个定义区间中k'(s)=0则它等价于x(s)为常数．例如圆柱螺线x(s)=(rcosωsrsinωsωhs)的曲率k(s)=ω²r为常数其中h均为常数．但是它不是球面曲线．
如果x(s)满足：则(a)如果对,有k'(s)≠0,则恒有根据习题1．3．22的充分性知,x(s)为一条球面曲线．(b)如果{s｜k'(s)=0不含区间,则对k'(s)≠0的任何s,由上述知,必有由于{s｜k'(s)=0处处稠密且上式左边为s的连续函数,所以在s的定义区间上恒成立．根据习题1-3．22的充分性知,x(s)为一条球面曲线．(c)如果在整个定义区间中,k'(s)=0,则它等价于x(s)为常数．例如,圆柱螺线x(s)=(rcosωs,rsinωs,ωhs)的曲率k(s)=ω2r为常数,其中h均为常数．但是,它不是球面曲线．