n级实对称矩阵A是正定的充分必要条件为：有可逆实对称矩阵C使得A=C2．请帮忙给出正确答案和分析 谢
n级实对称矩阵A是正定的充分必要条件为：有可逆实对称矩阵C使得A=C2．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j8***101
2024-11-13 10:51:26
正确答案：必要性 因为A为n级实对称矩阵故存在一正交矩阵使得[*其中λ1λ2…λn为A的特征值．[*因为A正定故λt>0[*充分性 设有可逆实对称矩阵C使得C2=A则存在正交矩阵P使[*其中α1α2……αn为C的特征值 由此可知[*即[*．从而α12α22……αn2为A的n个特征值且均大于零．所以A为正定矩阵．
必要性因为A为n级实对称矩阵,故存在一正交矩阵,使得[*其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值．[*因为A正定,故λt>0,[*充分性设有可逆实对称矩阵C使得C2=A,则存在正交矩阵P使[*其中α1,α2……αn为C的特征值由此可知[*即[*．从而α1,2α22……αn2为A的n个特征值且均大于零．所以A为正定矩阵．
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