设向量组α1 α2 α3线性无关 向量β1可由α1 α2 α3线性表示 而向量β2不能由α1 α2
设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有
A.α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关.
B.α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关.
C.α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关.
D.α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:A
[分析向量组的线性相关性可通过向量组的秩来确定,若向量组的秩等于向量组中向量的个数,则向量组线性无关.本题向量组中的向量含有常数,也可取特殊的值排除错误选项.[详解1由题设知α1,α2,α3,β1线性无关,且存在k1,k2,k3使β1=k1α1+k2α1+k3α3,于是通过初等列变换有(α1,α2,α3,kβ1+β2)=(α1,α2,α3,kk1α2+kk2α2+kk3α3+β2)-(α1,α2,α3,β2),因此r(α1,α2,α3,kβ1+β2)=r(α1,α2,α3,β2)=4,故α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关.[详解2取k=0,由条件知向量组α1,α2,α3线性:无关,α1,α2,α3,β1线性相关,所以应排除(B)、(C).取k=1,因β可由α1,α2,α3线性表示,β不能由α1,α2,α3线性表示,所以α1,α2,α3,β1+β2线性无关,因而可排除(D).故应选(A).
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