设A B为H阶方阵 E为n阶单元矩阵 证明：若E—AB可逆 则E—BA也可逆．请帮忙给出正确答案和分
设A、B为H阶方阵，E为n阶单元矩阵，证明：若E—AB可逆，则E—BA也可逆．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
481***101
2024-11-11 18:41:32
正确答案：因为E—AB可逆所以存在n阶可逆矩阵C使 C(E一AB)=(E—AB)C=E因此有 CAB=ABC=C—E从而 B(ABC)A=B(C—E)A E+BCA—BA—BABCA=E即 (E—BA)(E+BCA)=E故E—BA可逆且(E—BA)-1=E+BCA．
因为E—AB可逆,所以存在n阶可逆矩阵C,使C(E一AB)=(E—AB)C=E因此有CAB=ABC=C—E从而B(ABC)A=B(C—E)A,E+BCA—BA—BABCA=E,即(E—BA)(E+BCA)=E,故E—BA可逆,且(E—BA)-1=E+BCA．
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