设P0为两曲线x(s)与设k(s0)≠0．证明：曲线C：x(s)(s为其弧长)与已给球面(球心为m)

正确答案：证法1(1)设由此知x(s)在x(s₀)与球面(x一m)²=r²有2阶接触等价于(2)x(s)在x(s₀)与球面(x一m)²=r²有3阶接触等价于此时证法2设f(s)=[x(s)一m²一r²m=x(s₀)+uV₂(s)+tV₃(s)则(1)x(s)在s₀与球面(x一m)²=r²=u²+t²有2阶接触等价于(2)x(s)在s₀与球面(x—m)²=r²=u²+t²有3阶接触等价于由上立知题中所有结论．证法3 参阅习题1.3．22证法2应用Taylor展开．(1)设球面中心为x(s)与球面(x—m)²=r²之间的k阶接触如下：这表明：(a)球心在任何点只要球面经过x(s₀)(即半径r=x(s)与球面(x—m)²=r²在x(s₀)处就是0阶接触．(b)当且球心在的任何点时x(s)与球面(x—m)²=r²在x(s₀)处是1阶接触．的任何点时x(s)与球面(x一m)²=r²在x(s₀)处是2阶接触．的任何点时x(s₀)与球面(x—m)²=r²在x(s₀)处是3阶接触．
证法1(1)设由此知x(s)在x(s0)与球面(x一m)2=r2有2阶接触等价于(2)x(s)在x(s0)与球面(x一m)2=r2有3阶接触等价于此时,证法2设f(s)=[x(s)一m2一r2,m=x(s0)+uV2(s)+tV3(s),则(1)x(s)在s0与球面(x一m)2=r2=u2+t2有2阶接触等价于(2)x(s)在s0与球面(x—m)2=r2=u2+t2有3阶接触等价于由上立知题中所有结论．证法3参阅习题1.3．22证法2,应用Taylor展开．(1)设球面中心为x(s)与球面(x—m)2=r2之间的k阶接触如下：这表明：(a)球心在任何点,只要球面经过x(s0)(即半径r=x(s)与球面(x—m)2=r2在x(s0)处就是0阶接触．(b)当且球心在的任何点时,x(s)与球面(x—m)2=r2在x(s0)处是1阶接触．的任何点时,x(s)与球面(x一m)2=r2在x(s0)处是2阶接触．的任何点时,x(s0)与球面(x—m)2=r2在x(s0)处是3阶接触．