设η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解 ξ1 ξ2 … ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解

正确答案：(1)设有关系式k₀η*+k₁ξ₁+…+k_n-rξ_n-r=0 ①用矩阵A左乘上式两边并注意题设条件得 0=A(k₀η*+k₁ξ₁+…+k_n-1ξ_n-r) =k₀Aη*+k₁Aξ₁+…+k_n-rAξ_n-r=k₀b． 但b≠0由上式知k₀=0于是式①成为 k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r=0． 因向量组ξ₁ξ₂…ξ_n-r是对应齐次方程组的基础解系从而线性无关 于是k₁=k₂=…=k_n-r=0由定义知η*ξ₁…ξ_n-r线性无关． (2)设有关系式 λ₀η*+λ₁(η*+ξ₁)+…+λ_n-r(η*+ξ_n-r)=0 亦即 (λ₀+λ₁+…+λ_n-1)η*+λ₁ξ₁+…+λ_n-rξ_n-r=0． 由(1)向量组η*ξ₁…ξ_n-r线性无关 故λ₁=λ₂=…=λ_n-r=0并且λ₀+λ₁+…+λ_n-r=0于是λ₀也等于0故所给向量组线性无关．
(1)设有关系式k0η*+k1ξ1+…+kn-rξn-r=0①用矩阵A左乘上式两边,并注意题设条件,得0=A(k0η*+k1ξ1+…+kn-1ξn-r)=k0Aη*+k1Aξ1+…+kn-rAξn-r=k0b．但b≠0,由上式知k0=0,于是,式①成为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0．因向量组ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次方程组的基础解系,从而线性无关,于是k1=k2=…=kn-r=0,由定义知η*,ξ1,…,ξn-r线性无关．(2)设有关系式λ0η*+λ1(η*+ξ1)+…+λn-r(η*+ξn-r)=0,亦即(λ0+λ1+…+λn-1)η*+λ1ξ1+…+λn-rξn-r=0．由(1),向量组η*,ξ1,…,ξn-r线性无关,故λ1=λ2=…=λn-r=0并且λ0+λ1+…+λn-r=0,于是λ0也等于0,故所给向量组线性无关．