用泰勒公式求下列极限： 试确定P的取值范围 使得y＝x3－3x＋p与x轴 (1)有一个交点；(2)有

正确答案：解 设f(x)＝x³－3x+p D(f)＝(-∞+∞)fˊ(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)令fˊ(x)＝0得驻点x₁＝1x₂＝-1 列表(1)当p＜-2时f(-1)＝2+p＜0f(1)＝-2+p＜0即极大值极小值都在x轴下方f(x)在[1+∞)上与x轴只有一个交点(图4—14)(2)当p＞2时f(-1)＝2+p＞0f(1)＝－2+p＞0即极大值极小值都在x轴上方f(x)在(－∞－1上与x轴只有一个交点(图4-15)(3)当p＝2时f(－1)＝2+p＝4＞0f(1)＝2+p＝0极大值在x轴上方极小值在x轴上所以f(x)在(－∞+∞)上与x轴有两个交点(图4—16)(4)当p＝2时f(－1)＝2+p＝0极大值在x轴上f(1)＝－2+p＝4＜0极小值在x轴下方．所以f(x)的图形与x轴有两个交点(图4—17)(5)当－2＜p＜2时f(－1)＞0f(1)＜0即极大值在x轴上方极小值在x轴下方曲线与x轴有三个交点(图4—18)
解设f(x)＝x3－3x+pD(f)＝(-∞,+∞)fˊ(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1),令fˊ(x)＝0,得驻点x1＝1,x2＝-1列表(1)当p＜-2时,f(-1)＝2+p＜0,f(1)＝-2+p＜0,即极大值,极小值都在x轴下方,f(x)在[1,+∞)上与x轴只有一个交点(图4—14)(2)当p＞2时,f(-1)＝2+p＞0,f(1)＝－2+p＞0,即极大值,极小值都在x轴上方,f(x)在(－∞,－1上与x轴只有一个交点(图4-15)(3)当p＝2时,f(－1)＝2+p＝4＞0,f(1)＝2+p＝0,极大值在x轴上方,极小值在x轴上,所以f(x)在(－∞,+∞)上与x轴有两个交点(图4—16)(4)当p＝2时,f(－1)＝2+p＝0,极大值在x轴上,f(1)＝－2+p＝4＜0,极小值在x轴下方．所以f(x)的图形与x轴有两个交点(图4—17)(5)当－2＜p＜2时,f(－1)＞0,f(1)＜0,即极大值在x轴上方,极小值在x轴下方,曲线与x轴有三个交点(图4—18)