设函数f(x)在[0 π]上连续 且｜f(x)dx＝0 ｜f(x)cosxdx＝0 试证明：在(0

正确答案：[详解1 令F(x)＝∫₀^xf(t)dt则有F(0)＝F(π)＝0．又因为 0＝∫₀^πf(x)cosxdx ＝∫₀^πF(x) ＝F(x)cosx｜₀^π＋∫₀^πF(x)sinsxdx＝∫₀^πF(x)sinxdx
[分析本题直接用连续函数的介值定理是困难的，可考虑作辅助函数F(x)＝∫0xf(t)dt，显然有F(0)＝F(π)＝0，但要最终证明结论，还需另找F(x)的一个零点，这当然要由第二个条件∫0πf(x)cosxdx＝0来实现．为了使其与F(x)联系起来，可将其变换为0＝∫0πf(x)cosxdx＝∫0πF(x)，再通过分部积分和微分中值定理或积分巾值定理就可达到目的．[评注1证明f(x)有是个零点的一个有效的方法是证明它的原函数有k＋1个零点．F(x)＝∫0xf(t)dt是多次考到的一个特殊的原函数，应当引起注意．[评注2详解1中的ξ和详解2中的ξ1均可由积分中值定理得到，请读者自己思考．积分中值定理：设f(x)在[a，b上连续，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使∫abf(x)dx＝f(ξ)(b－a)．[评注3证明介值问题，一般有两种情形：1．要证的结论与某函数在某一点的函数值f(ξ)有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理；2．要证的结论与某函数在某一的导数值f'(ξ)(或更高阶导数值)有关，则应考虑用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式)．但是根据(∫axf(t)dt)'＝f(x)知，若要证的结论与导数无关，用连续函数的介值定理又解决不了时，也可考虑用上述变限的定积分所构造的辅助函数，通过微分中值定理进行证明．这是一个例外的隐含情形，应当引起注意．