设0＜a＜b 证明： (1＋a)ln(1＋a)＋(1＋b)ln(1＋b)＜(1＋a＋b)ln(1＋a
设0＜a＜b，证明： (1＋a)ln(1＋a)＋(1＋b)ln(1＋b)＜(1＋a＋b)ln(1＋a＋b)．
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参考解答
420***100
2024-11-07 12:51:16
正确答案：证：对函数f(x)＝(1＋x)ln(1＋x)在区间[ba＋b上应用拉格朗日中值定理有 (1＋a＋b)ln(1＋a＋b)－(1＋b)ln(1＋b)＝[1＋ln(1＋ε)ab＜ε＜a＋b 对a＞0有a＞ln(1＋a)及ln(1＋ε)＞ln(1＋a)由上式得 (1＋a＋b)ln(1＋a＋b)－(1＋b)ln(1＋b)＞ln(1＋a)＋aln(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)．
证：对函数f(x)＝(1＋x)ln(1＋x)在区间[b,a＋b上应用拉格朗日中值定理,有(1＋a＋b)ln(1＋a＋b)－(1＋b)ln(1＋b)＝[1＋ln(1＋ε)a,b＜ε＜a＋b对a＞0,有a＞ln(1＋a)及ln(1＋ε)＞ln(1＋a),由上式得(1＋a＋b)ln(1＋a＋b)－(1＋b)ln(1＋b)＞ln(1＋a)＋aln(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)．
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