已知不共线的三点A B C 求证：平面上不同三点liA＋miB＋niC(li mi ni为不同时等于

正确答案：设平面上三个不同点l_iA＋m_iB＋n_iC(i＝123)共线则根据定理3、4之推论必存在三个全不为零的实数pqr使 p(l₁A＋m₁B＋n₁C)＋q(l₂A＋m₂B＋n₂C)＋r(l₃A＋m₃B＋n₃C)＝0即 (pl₁＋ql₂＋rl₃)A＋(pm₁＋qm₂＋rm₃)B＋(pn₁＋qn₂＋rn₃)C＝0． 由于ABC三点不共线所以有 pl₁＋ql₂＋rl₃＝0 pm₁＋qm₂＋rm₃＝0 pn₁＋qn₂＋rn₃＝0． 又pqr全不为零所以有 这就是不同三点l_iA＋m_iB＋n_iC(i＝123)共线的充要条件．
设平面上三个不同点liA＋miB＋niC(i＝1,2,3)共线,则根据定理3、4之推论,必存在三个全不为零的实数p,q,r使p(l1A＋m1B＋n1C)＋q(l2A＋m2B＋n2C)＋r(l3A＋m3B＋n3C)＝0,即(pl1＋ql2＋rl3)A＋(pm1＋qm2＋rm3)B＋(pn1＋qn2＋rn3)C＝0．由于A,B,C三点不共线,所以有pl1＋ql2＋rl3＝0,pm1＋qm2＋rm3＝0,pn1＋qn2＋rn3＝0．又p,q,r全不为零,所以有这就是不同三点liA＋miB＋niC(i＝1,2,3)共线的充要条件．