求作下列图形的对偶图形． 如图1—2—21 设以三直线α＝O β＝0 γ＝0为边的三线形 l1 l2

正确答案：充分性显然只证明必要性．如图2—2—17． l₁l₂l₃的方程可以分别表示为： mβ＋n′γ＝0 nγ＋l′α＝0． lα＋m′β＝0． 如果三直线共点则有实数λ₁、λ₂、λ₃(λ₁λ₂λ₃≠0)存在使λ₁(mβ＋n′γ)＋λ₂(nγ＋l′α)＋λ₃(lα＋m′β)＝0． 令λ₁m＝qλ₁n′＝r′λ₂n＝rλ₂l′＝p′λ₃l＝pλ₃m′＝q′． 则得(P＋P′)α＋(q＋q′)β＋(r＋r′)y＝0． 因为α＝0β＝0γ＝0不共点所以 P＋P′＝q＋q′＝r＋r′＝0． ① 由于λ₁λ₂λ₃≠0所以 由①、②得l₁、l₂、l₃的方程可以分别表示为： qβrγ＝0 rγ－pα＝0 pα－qβ＝0．
充分性显然,只证明必要性．如图2—2—17．l1,l2,l3的方程可以分别表示为：mβ＋n′γ＝0,nγ＋l′α＝0．lα＋m′β＝0．如果三直线共点,则有实数λ1、λ2、λ3(λ1λ2λ3≠0)存在,使λ1(mβ＋n′γ)＋λ2(nγ＋l′α)＋λ3(lα＋m′β)＝0．令λ1m＝q,λ1n′＝r′,λ2n＝r,λ2l′＝p′,λ3l＝p,λ3m′＝q′．则得(P＋P′)α＋(q＋q′)β＋(r＋r′)y＝0．因为α＝0,β＝0,γ＝0不共点,所以P＋P′＝q＋q′＝r＋r′＝0．①由于λ1λ2λ3≠0,所以由①、②得l1、l2、l3的方程可以分别表示为：qβrγ＝0,rγ－pα＝0,pα－qβ＝0．