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已知同阶方阵A,B满足:A2-B2=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B),试证:(A+B)2=A2+2AB+B2.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:证明 由矩阵乘法对加法的分配律可得: (A+B)(A-B)=(A+B)A-(A+B)B=(A2+BA)-(AB+2) =A2+BA-AB-B2 (A-B)(A+B)=(A-B)A+(A-B)B=(A2-BA)+(AB-B2) =A2-BA+AB-B2.类似可得: (A+B)2=A2+AB+BA+B2由题设A2-B2=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)得AB=BA从而可得: (A+B)2=A2+2AB+B2.
证明由矩阵乘法对加法的分配律可得:(A+B)(A-B)=(A+B)A-(A+B)B=(A2+BA)-(AB+2)=A2+BA-AB-B2,(A-B)(A+B)=(A-B)A+(A-B)B=(A2-BA)+(AB-B2)=A2-BA+AB-B2.类似可得:(A+B)2=A2+AB+BA+B2由题设A2-B2=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B),得AB=BA,从而可得:(A+B)2=A2+2AB+B2.
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