若y1 y2 y3是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解 试用y1 y2 y3表达方程(1)的

正确答案：设方程为y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)．令 Y₁＝y₁－y₂Y₂＝y₂－y₃ Yˊ₁＝yˊ₁－yˊ₂Yˊ₂＝yˊ₂－yˊ₃ Y〞₁＝y〞₁－y〞₂Y〞₂＝y〞₂－y〞₃． 将Y₁代人方程左边得 左边＝y〞₁－y〞₂＋P(x)(yˊ₁－yˊ₂)＋Q(x)(y₁－y₂) ＝y〞₁＋P(x)yˊ₁＋Q(x)y₁－[y〞₂＋P(x)yˊ₂＋Q(x)y₂ ＝f(x)－f(x)＝0Y₁是齐次方程y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝0的一个解． 同理可证Y₂是齐次方程的一个解 k₁Y₁＋k₂Y₂＝k₁y₁－k₂y₃＋(k₂－k₁)y₂＝0 由y₁y₂y₃线性无关k₁＝0k₂＝0Y₁Y₂线性无关即Y₁Y₂是齐次方程两个线性无关的解． 那么由非齐次方程解的结构可写出原方程的通解 y＝C₁(y₁－y₂)＋C₂(y₂－y₃)＋y₁．
设方程为y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)．令Y1＝y1－y2,Y2＝y2－y3,Yˊ1＝yˊ1－yˊ2,Yˊ2＝yˊ2－yˊ3,Y〞1＝y〞1－y〞2,Y〞2＝y〞2－y〞3．将Y1代人方程左边,得左边＝y〞1－y〞2＋P(x)(yˊ1－yˊ2)＋Q(x)(y1－y2)＝y〞1＋P(x)yˊ1＋Q(x)y1－[y〞2＋P(x)yˊ2＋Q(x)y2＝f(x)－f(x)＝0,Y1是齐次方程y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝0的一个解．同理可证Y2是齐次方程的一个解,k1Y1＋k2Y2＝k1y1－k2y3＋(k2－k1)y2＝0,由y1,y2,y3线性无关,k1＝0,k2＝0,Y1,Y2线性无关,即Y1,Y2是齐次方程两个线性无关的解．那么由非齐次方程解的结构可写出原方程的通解y＝C1(y1－y2)＋C2(y2－y3)＋y1．