设F(x)＝ ∫x2x＋πesintsintdt 则F(x)A．为正常数．B．为负常数．C．恒为零．
设F(x)＝ ∫x2x＋πesintsintdt，则F(x)
A．为正常数．
B．为负常数．
C．恒为零．
D．不为常数．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
413***101
2024-11-09 16:55:33
正确答案：A
[分析被积函数以2π为周期，利用周期函数的积分性质进行计算．[详解由于esintsint是以2π为周期的，因此F(x)＝∫x2x＋πesintsintdt＝∫02xesintsintdt＝－∫02πesintdcost＝0＋∫02πesintcos2tesintdt＞0。故应选(A)．[评注四个选项均与F(x)是否为常数有关，可考虑对F(x)求导，看其导数是否为零：F’(x)＝(∫x2x＋πesintsintdt)’＝esin(x＋2π)sin(x＋2π)－esinxsinx≡0，于是F(x)＝C，从而有F(x)＝F(0)＝∫02πesintsintdt＝∫0πesintsintdt＋∫02πesintsintdt，而，可见F(x)＝∫0π(esint－e－sint)sintdt＝∫0πe－sint(e2sint－1)sintdt＞0．得正确选项(A)．
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