设η是欧氏空间中一单位向量 定义T(α)=α－2(η α)η．证明： (1)T是正交变换 这样的正交

正确答案：(1)对欧氏空间中任意元素αβ和实数k₁k₂有T(k₁α+k₂β)=k₁α+k₂β－2(ηk₁α+k₂β)η=k₁α+k₂β－2k₁(ηα)η－2k₂(ηβ)η=k₁Tα+k₂Tβ所以T是线性变换．又因为(TαTβ)=[α－2(ηα)ηβ－2(ηβ)η =(αβ)－2(ηα)(ηβ)－2(ηα)(ηβ)+4(ηα)(ηβ)(ηη)注意到(ηη)=1所以(TαTβ)=(aβ)故T是正交变换． (2)由于η是单位向量将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基正交基ηε₂ε_n则即可见T在基ηε₂…ε_n下的矩阵的行列式等于－1所以T是第二类的． (3)既然T的特征值有n个由已知T有n－1个特征值为1另一个也须为实数不妨设为λ₀则存在一组基ε₁ε₂…ε_n使得因为T是正交变换所以(ε₁ε₁)=(Tε₁Tε₁)=λ₀²(ε₁ε₁)．从而λ₀²=1．但V₁是n－1维的所以λ₀=－1于是Tε₁=－ε₁Tε_i=ε_i i=23…n． 因为属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量必正交所以 (ε₁ε_i)=0 i=23…n．现令则η是单位向量且与ε₂…ε_n正交则ηε₂…ε_n为欧氏空间V的一组基．又因为任取α=k₁η+k₂ε₂+…+k_nε_n∈V有 (αη)=(k₁η+k₂ε₂+…+k_nε_nη)=k₁故Tα=k₁Tη+k₂Tε₂+…+k_nTε_n=－=k₁η+k₂ε₂+…+k_nε_n=k₁η+k₂ε₂+…+k_nε_n－2k₁η=a－2(αη)η．可见T是镜面反射．
(1)对欧氏空间中任意元素,α,β和实数k1,k2,有T(k1α+k2β)=k1α+k2β－2(η,k1α+k2β)η=k1α+k2β－2k1(η,α)η－2k2(η,β)η=k1Tα+k2Tβ,所以T是线性变换．又因为(Tα,Tβ)=[α－2(η,α)η,β－2(η,β)η=(α,β)－2(η,α)(η,β)－2(η,α)(η,β)+4(η,α)(η,β)(η,η),注意到(η,η)=1,所以(Tα,Tβ)=(a,β),故T是正交变换．(2)由于η是单位向量,将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基正交基η,ε2,εn,则即可见T在基η,ε2,…,εn下的矩阵的行列式等于－1,所以T是第二类的．(3)既然T的特征值有n个,由已知,T有n－1个特征值为1,另一个也须为实数,不妨设为λ0,则存在一组基ε1,ε2,…,εn,使得因为T是正交变换,所以(ε1,ε1)=(Tε1,Tε1)=λ02(ε1,ε1)．从而λ02=1．但V1是n－1维的,所以λ0=－1,于是Tε1=－ε1,Tεi=εi,i=2,3,…,n．因为属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量必正交,所以(ε1,εi)=0,i=2,3,…,n．现令,则η是单位向量,且与ε2,…,εn正交,则η,ε2,…,εn为欧氏空间V的一组基．又因为任取α=k1η+k2ε2+…+knεn∈V,有(α,η)=(k1η+k2ε2+…+knεn,η)=k1,故Tα=k1Tη+k2Tε2+…+knTεn=－=k1η+k2ε2+…+knεn=k1η+k2ε2+…+knεn－2k1η=a－2(α,η),η．可见T是镜面反射．