设S为非空数集 定义S-{x｜-x∈S}。证明： infS-=-sups请帮忙给出正确答案和分析 谢

正确答案：证明 令ξ=infS^-根据下确界的定义知ξ满足下列性质： (i)对一切x∈S^-有x≥ξ； (ii)对任何β＞ξ存在x₀∈S^-使得x₀＜β。 由(i)知S^-={x｜-x∈Sx≥ξ即-x≤-ξ即对S中的任意元素-x有-x≤- ξ即-ξ是S的上界； 由(ii)对任何-β＜-ξ存在-x₀∈S使得(-x₀)＞(-β)即-β是S的最小上界。 因此-β=supS即 β=-sups 由上可得 infS^-=β-supS
证明令ξ=infS-,根据下确界的定义知ξ满足下列性质：(i)对一切x∈S-,有x≥ξ；(ii)对任何β＞ξ,存在x0∈S-,使得x0＜β。由(i)知S-={x｜-x∈S,x≥ξ,即-x≤-ξ即对S中的任意元素-x,有-x≤-ξ,即-ξ是S的上界；由(ii),对任何-β＜-ξ,存在-x0∈S,使得(-x0)＞(-β),即-β是S的最小上界。因此,-β=supS,即β=-sups由上可得infS-=β-supS