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求满足下列条件的微分方程： (1)未知方程有通解x2＋y2＝2Cx； (2)未知方程有通解y＝(C＋x)e2x； (3)未知方程有通解y＝C1eC2x； (4)未知方程的通解为y(x＋C3)＝C1x＋C2．
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参考解答
406***102
2024-11-16 11:43:25
正确答案：×
(1)方程两边对x求导,2x＋2yyˊ＝2C,C＝x＋yyˊ代人原方程中,x2＋y2＝2x(x＋yyˊ)所以2xyyˊ＝y2－x2为所求未知方程(2)方程两边对x求导,yˊ＝e2x＋2(C＋x)e2x由y＝(C＋x)e2x,得C＝ye－2x－x代入上式yˊ＝e2x＋2(ye－2x－x＋x)e2x＝e2x＋2y所以yˊ－2y＝e2x为所求微分方程(3)方程两边对x求导,yˊ＝C1C2eC2x＝C2e－C2x×ye－C2x＝C2y,C2＝yˊ／y,y〞＝C2yˊ＝所以yy〞－(yˊ)2＝0为所求微分方程(4)方程两边分别对x求导,(x＋C3)yˊ＋y＝C1,再对x求导,(x＋C3)y〞＋yˊ＋yˊ＝0,(x＋C3)y〞＋2yˊ＝0,再对x求导,(x＋C3)y〞ˊ＋y〞＋2y〞＝0,(x＋C3)y〞ˊ＋3y〞＝0,由(x＋C3)y〞＋2yˊ＝0,得(x＋C3)＝－2yˊ(y〞)－1代入上式得－2yˊ(y〞)－1y〞ˊ＋3y〞＝0所以2yˊy〞－3(y〞)2＝0为所求微分方程
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