验证下列各函数是否为所给微分方程的通解： (1)xyˊ＝3y y＝Cx3； (2)yˊ＋y＝e－x

正确答案：(1)yˊ＝3Cx²代入方程的左边xyˊ＝3Cx³右端＝3y＝3Cx³所以y＝Cx³满足方程xyˊ＝3y(2)yˊ＝e^－x－(x＋C)e^-x＝e^-x(1－x－C)代入左端左端＝e^－x(1－x－C)＋(x＋C)e^-x＝e^-x＝右端所以y＝(x＋C)e^－x满足方程yˊ＋y＝e^-x(3)xˊ＝－4sin 2t－3C₁sin 3t＋3C₂cos 3tx〞＝－8cos 2t－9C₁cos3t－9C₂sin3t代入方程的左端左端＝－8cos 2t－9C₁cos3t－9C₂sin3t＋18cos 2t＋9C₁cos 3t＋9C₂sin 3t ＝10cos 2t＝右端所以x＝2cos 2t＋C₁cos 3t＋C₂sin 3t满足方程x〞＋9x＝10cos 2t 所以x²－xy＋y²＝C满足方程(x－2y)yˊ＝2x－y (5)2yyˊ＝1＋2Cx 2(yˊ)²＋2yy〞＝2C yy〞＝C－(yˊ)² 代入方程左端 左端＝x²[C－(yˊ)²＋x²(yˊ)²－2xyyˊ＋y² ＝x²C－x²(yˊ)²＋x²(yˊ)²－2x(1／2＋cx)＋x＋Cx²＝0但此为二阶微分方程解中只有一个常数 所以y²＝x＋Cx²不是微分方程x²yy〞＋(xyˊ－y)²＝0的通解
(1)yˊ＝3Cx2代入方程的左边xyˊ＝3Cx3,右端＝3y＝3Cx3所以y＝Cx3满足方程xyˊ＝3y(2)yˊ＝e－x－(x＋C)e-x＝e-x(1－x－C)代入左端左端＝e－x(1－x－C)＋(x＋C)e-x＝e-x＝右端所以y＝(x＋C)e－x满足方程yˊ＋y＝e-x(3)xˊ＝－4sin2t－3C1sin3t＋3C2cos3t,x〞＝－8cos2t－9C1cos3t－9C2sin3t代入方程的左端左端＝－8cos2t－9C1cos3t－9C2sin3t＋18cos2t＋9C1cos3t＋9C2sin3t＝10cos2t＝右端所以x＝2cos2t＋C1cos3t＋C2sin3t满足方程x〞＋9x＝10cos2t所以x2－xy＋y2＝C满足方程(x－2y)yˊ＝2x－y(5)2yyˊ＝1＋2Cx2(yˊ)2＋2yy〞＝2Cyy〞＝C－(yˊ)2代入方程左端左端＝x2[C－(yˊ)2＋x2(yˊ)2－2xyyˊ＋y2＝x2C－x2(yˊ)2＋x2(yˊ)2－2x(1／2＋cx)＋x＋Cx2＝0,但此为二阶微分方程,解中只有一个常数所以y2＝x＋Cx2不是微分方程x2yy〞＋(xyˊ－y)2＝0的通解