设a1 a2 … an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2 … en能由它们线性表示 证明
设a1，a2，…，an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由它们线性表示，证明a1，a2，…，an线性无关．
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参考解答
4j8***101
2024-11-11 10:37:31
正确答案：由于任意n维向量都能由n维单位坐标向量e1e2…en线性表示从而a1a2…an能由e1e2…en线性表示而又已知n维单位坐标向量e1e2…en能由a1a2…an线性表示因此a1a2…an与e1e2…en等价．由于等价的向量组有相同的秩故R(a1a2…an)=R(e1e2…en)=n从而a1a2…an线性无关．
由于任意n维向量都能由n维单位坐标向量e1,e2,…,en线性表示,从而a1,a2,…an能由e1,e2,…,en线性表示,而又已知n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由a1,a2,…,an线性表示,因此a1,a2,…,an与e1,e2,…,en等价．由于等价的向量组有相同的秩,故R(a1,a2,…,an)=R(e1,e2,…,en)=n,从而a1,a2,…,an线性无关．
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