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设随机变量X与Y独立，且方差有限，证明： D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(y)+D(X)EE(Y)]2．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j5***444
2023-11-13 22:16:04
正确答案：由方差的定义、X与Y的独立性及数学期望的性质有D(XY)=E{[XY—E(XY)2=E{[XY—E(X)E(Y)2 =E{[XY—XE(Y)+XE(Y)一E(X)E(Y)2 =E{X2[Y—E(Y)2+[X—E(X)2[E(Y)2+2XE(Y)EX—E(X)[Y—E(Y) =E{X2[Y+E(Y)2+E{[X—E(X)2[E(Y)2+E{2XE(Y)EX—E(X)—EY—E(Y)) =E(X2)E{EY—E(Y)2)+E{[X—E(X)2[E(Y)2+2E(Y)E{X[X—E(X) E[Y—E(Y) 由于E{[X—E(x)2=D(X)E{[Y—E(Y)2=D(Y)E[Y—E(Y)=0及E(X2)=D(X)+[E(X)2得到 D(XY)={D(X)+[E(X)2D(Y)+D(X)[E(Y)2 =D(X)D(Y)+[E(X)2D(Y)+D(X)[E(Y)2．
可以从左端由方差的定义出发证明．为了能推出右边多项之和，中间可考虑插入一交叉项，展开时用到数学期望的性质、(4．9)式以及下面的结论：若随机变量X与y独立，则它们各自的函数g(X)与h(Y)也独立．
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