设函数f(x)和g(x)和[a b]上存在二阶导数 并且g〞(x)≠0 f(a)＝f(b)＝g(a)

正确答案：证：将欲证的等式变形为f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0由此可启发我们构造辅助函数φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)． (1)用反证法．若存在c∈(ab)使g(c)＝0对g(x)在[ac和[cb上应用罗尔定理知存在ε₁∈(ac)ε₂∈(cd)使gˊ(ε₁)＝gˊ(ε₂)＝0． gˊ(x)再在[ε₁ε₂上应用罗尔定理应存在ε₃∈(ε₁ε₂)使g〞(ε₃)＝0这与条件g〞(x)≠0矛盾．故在(ab)内g(x)≠0． (2)令φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)则φ(a)＝φ(b)＝0由罗尔定理知存在ε∈(ab)使φˊ(ε)＝0即fˊ(ε)gˊ(ε)＋f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)－fˊ(ε)gˊ(ε)＝0 即 f(ε)g〞(ε)＝f〞(ε)g(ε) 因g(ε)≠0g〞(ε)≠0故得
证：将欲证的等式变形为f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0,由此可启发我们构造辅助函数φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)．(1)用反证法．若存在c∈(a,b),使g(c)＝0,对g(x)在[a,c和[c,b上应用罗尔定理,知存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,d),使gˊ(ε1)＝gˊ(ε2)＝0．gˊ(x)再在[ε1,ε2上应用罗尔定理,应存在ε3∈(ε1,ε2),使g〞(ε3)＝0,这与条件g〞(x)≠0矛盾．故在(a,b)内g(x)≠0．(2)令φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x),则φ(a)＝φ(b)＝0,由罗尔定理知,存在ε∈(a,b),使φˊ(ε)＝0,即fˊ(ε)gˊ(ε)＋f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)－fˊ(ε)gˊ(ε)＝0即f(ε)g〞(ε)＝f〞(ε)g(ε)因g(ε)≠0,g〞(ε)≠0,故得