已知函数z＝f(x y)的全微分dz＝2ydy 并且f(1 1)＝求f(x y)在椭圆域D＝｛(x

正确答案：因dz＝2xdx－2ydy＝d(x²－y²)所以z＝x²－y²＋C又f(11)＝2故f(xy)＝x²－y²＋2．可得驻点(00)f(00)＝2D的边界线为x＝cosθy＝2sinθ0≤θ≤2πf(cosθ2sinθ)＝cos²θ－4sin²θ＋2＝3－5sin²θ当θ＝0π时f(cosθ2sinθ)＝3当θ＝π／23／2π时f(cosθ2sinθ)＝－2故f(xy)在椭圆域的最大值为3最小值为－2．
因dz＝2xdx－2ydy＝d(x2－y2)所以z＝x2－y2＋C又f(1,1)＝2,故f(x,y)＝x2－y2＋2．可得驻点(0,0),f(0,0)＝2D的边界线为x＝cosθ,y＝2sinθ,0≤θ≤2πf(cosθ,2sinθ)＝cos2θ－4sin2θ＋2＝3－5sin2θ当θ＝0,π时,f(cosθ,2sinθ)＝3,当θ＝π／2,3／2π时,f(cosθ,2sinθ)＝－2,故f(x,y)在椭圆域的最大值为3,最小值为－2．