设函数y＝y(x)在(－∞ ＋∞)内具有二阶导数且y≠0 x＝x(y)是y＝y(x)的反函数． (

大学本科已帮助：人时间:2024-11-09 12:12:19

设函数y＝y(x)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数． (1)试将x＝x(y)所满足的微分方程
变换为y＝y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，
的解．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

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参考解答

473***101

2024-11-09 12:12:19



正确答案：(1)由反函数的求导公式知于是有代入原微分方程得y'－y＝sinx(2)方程①所对应的齐次方程y'－y＝0的通解为y＝C₁e^x＋C₂e²．设方程①的特解为 y^*＝Acosx＋Bsinx．代入方程①求得A＝0从而y'－y＝sinx的通解是y＝y＋y^*＝C₁e^x＋C₂e²－由y(0)＝0得C₁＝1C₂＝－1．故所求初值问题的解为
[分析，关键在于：然后再代入原方程化简即可．[评注反函数的求导法是一元函数的三个基本微分法之一，二阶线性常系数非齐次微分方程则是微分方程部分的重要内容．本题将两部分内容有机地结合在一起，除了能够考查考生的基本运算能力，还能考查他们综合运用知识的能力．