设实二次型f(x1 x2 … xn)=l+…+l1一ls+1一…一ls+u 其中li(i=1 2 …

正确答案：设l_i=b_i1x₁+b_i2x₂+…+b_inx_n(i=12…s+u)实二次型f(x₁x₂…x_n)的正惯性指数为户秩为r故存在非退化线性替换y_i=c_i1x₁+c_i2x₂+…+c_inx_n(i=12…n) ①使得f(x₁x₂…x_n)=l₁²+…+l_s²一l_s+1²一…一l_s+u²=y₁²+…+y_p²一y_p+1²一…一y_p+q² ②对于线性方程组由于方程组方程数小于未知数个数则可知其有非零解并设其非零解为(α₁α₂α₃)将其解代入②中得f(α₁α₂……α_n)=一l_s+1²一…一l_s+u²=y₁²+…+y_p²上式要成立必有l_s+1²=…=l_s+u²=0y₁=y₂=…=y_p=0这就是说对于x₁=a₁x₂=a₂．．x_n=a_n这组非零数y₁=y₂=…=y_n=0这于①的系数矩阵非退化的条件相矛盾故p≤s同理可证q≤u．
设li=bi1x1+bi2x2+…+binxn(i=1,2,…,s+u),实二次型f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数为户,秩为r,故存在非退化线性替换,yi=ci1x1+ci2x2+…+cinxn(i=1,2,…,n)①使得f(x1,x2,…,xn)=l12+…+ls2一ls+12一…一ls+u2=y12+…+yp2一yp+12一…一yp+q2②对于线性方程组由于方程组方程数小于未知数个数,则可知其有非零解,并设其非零解为(α1,α2,α3),将其解代入②中得f(α1,α2……αn)=一ls+12一…一ls+u2=y12+…+yp2上式要成立,必有ls+12=…=ls+u2=0,y1=y2=…=yp=0,这就是说对于x1=a1,x2=a2．．xn=an这组非零数y1=y2=…=yn=0,这于①的系数矩阵非退化的条件相矛盾,故p≤s,同理可证q≤u．