如果A2=A 则A叫做幂等矩阵。设A与B都是幂等矩阵 证明A+B是幂等矩阵的充分必要条件是AB=BA

正确答案：因为A²=AB²=B所以有(A+B)²=A²+AB+BA+B²=A+AB+BA+B．(1)当AB=BA=0则显然(A+B)²=A+B即A+B是幂等矩阵．反之：要满足(A+B)²=A+B则由(1)式有AB+BA=0或AB=一BA． (2)而A=A²B=B²代入(2)式得AB=A²B—A(AB)=A(一BA)=一(AB)A=一(一BA)A=BA²=BA．与(2)式比较得一BA=BA因此BA=AB=0．当AB=BA=0时因为A+B+AB+BA=(A+B)²所以A+B=(A+B)²
因为A2=A,B2=B所以有(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A+AB+BA+B．(1)当AB=BA=0,则显然(A+B)2=A+B,即A+B是幂等矩阵．反之：要满足(A+B)2=A+B,则由(1)式有AB+BA=0,或AB=一BA．(2)而A=A2,B=B2代入(2)式得AB=A2B—A(AB)=A(一BA)=一(AB)A=一(一BA)A=BA2=BA．与(2)式比较,得一BA=BA,因此BA=AB=0．当AB=BA=0时,因为A+B+AB+BA=(A+B)2所以A+B=(A+B)2