如果n级矩阵A满足A2=A(此时称A是幂等矩阵) 则rank(A)+rank(I—A)=n．请帮忙给

正确答案：由A²=A可得A(A—I)=0设rank(A)=rrank(A—I)=s则由AB=0知(A-I)的每一个列向量都是以A为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量．(Ⅰ) 当r=n时由于齐次线性方程组只有零解做此时A—E=O．即此时rank(A)=nrank(A-I)=0rank(A)+rank(A-I)=n结论成立．(Ⅱ) 当r＜n时由于齐次线性方程组的基础解系中含有n一r个向量从而B的列向量的秩≤n一r即rank(A—I)≤n一r所以有rank(A)4-rank(A—I)≤n另一方面由于rank(A—I)=rank(I一A)故有n=rank(I)=rank(A+I—A)≤rank(A)+rank(I—A)=rank(A)4-rank(A—I)从而rank(A)+rank(A—I)=n
由A2=A可得A(A—I)=0,设rank(A)=r,rank(A—I)=s,则由AB=0知(A-I)的每一个列向量都是以A为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量．(Ⅰ)当r=n时,由于齐次线性方程组只有零解,做此时A—E=O．即此时rank(A)=n,rank(A-I)=0,rank(A)+rank(A-I)=n,结论成立．(Ⅱ)当r＜n时,由于齐次线性方程组的基础解系中含有n一r个向量,从而B的列向量的秩≤n一r,即rank(A—I)≤n一r所以有rank(A)4-rank(A—I)≤n另一方面,由于rank(A—I)=rank(I一A)故有n=rank(I)=rank(A+I—A)≤rank(A)+rank(I—A)=rank(A)4-rank(A—I)从而rank(A)+rank(A—I)=n