证明：以下的M1与M2都是n次对称群Sn的生成系． 1)所有含1的对换：M1={(12) (13)

正确答案：1)由于每个置换都可表为不相连循环之积而每个循环又可表为若干个对换之积如 (i₁i₂…i_n)=(i₁i_k)(i₁i_k-1)…(i₁i₂)故每个置换都可表为对换之积．又因为 (ij)=(1i)(1j)(1i)从而每个置换都可表为若干个含1的对换之积．亦即 M₁={(12)(13)…(1n) (1)是S_n的一个生成系． 2)令a=(12)b=(12…n)则对i用归纳法可证明： b^1-iab^i-1=(ji+1)∈(ab) (1≤i≤≤n—1)． 当j＞i+1即i＜j一1时有 (jj一1)…(i+2i+1)(ii+1)(i+1i+2)…(j一1．j) =(ij)∈(ab)从而(ab)包含一切对换．因此 (ab)=S_n即M₂={ab也是S_n的一个生成系．
1)由于每个置换都可表为不相连循环之积,而每个循环又可表为若干个对换之积,如(i1i2…in)=(i1ik)(i1ik-1)…(i1i2),故每个置换都可表为对换之积．又因为(ij)=(1i)(1j)(1i),从而每个置换都可表为若干个含1的对换之积．亦即M1={(12),(13),…,(1n)(1)是Sn的一个生成系．2)令a=(12),b=(12…n),则对i用归纳法可证明：b1-iabi-1=(j,i+1)∈(a,b)(1≤i≤≤n—1)．当j＞i+1,即i＜j一1时,有(j,j一1)…(i+2,i+1)(i,i+1)(i+1,i+2)…(j一1．j)=(i,j)∈(a,b),从而(a,b)包含一切对换．因此(a,b)=Sn,即M2={a,b也是Sn的一个生成系．