设(1)C是一条周线 f(z)在C的内部是亚纯的 且连续到C； (2)f(z)沿C不为零 则(试证

正确答案：记I(C)=D1)设在区域D中去掉所有的极点得一区域D₁由题设知在D₁内f(z)≠0．(反证法)若f(z)在D₁内有无限多个零点亦即在D内有无限多个零点那么我们不妨取出其中彼此不同的零点组成一个点列{z_n它是有界的因而有一收敛子点到{z_n→z₀本题设z₀只能在D₁内又由唯一性定理在D₁内f(z)≡0矛盾于是f(z)在D内至多只有限个零点．2)考察在D内至多只有有限个零点从而f(z)在D内至多只有有限个极点．
记I(C)=D1)设在区域D中去掉所有的极点,得一区域D1,由题设知,在D1内f(z)≠0．(反证法)若f(z)在D1内有无限多个零点,亦即在D内有无限多个零点,那么我们不妨取出其中彼此不同的零点组成一个点列{zn,它是有界的,因而有一收敛子点到{zn→z0,本题设z0只能在D1内,又由唯一性定理,在D1内f(z)≡0,矛盾,于是f(z)在D内至多只有限个零点．2)考察在D内至多只有有限个零点,从而f(z)在D内至多只有有限个极点．