设函数f(x) g(x)在[a b]二上连续 在(a b)内可导 且f(b)－f(a)＝g(b)－g

正确答案：证：(1)令F(x)＝f(x)－g(x)显然F(x)在[ab上满足罗尔定理的条件因此在(ab)内至少存在一点c使Fˊ(c)＝0即fˊ(c)＝gˊ(c)．(2)在[ac上考虑函数f(x)和g(x)．则f(x)、g(x)满足(1)的结论的条件所以存在ε₁∈(ac)使得fˊ(ε₁)＝gˊ(ε₁)：同理存在点ε₂∈(cb)使得 fˊ(ε₂)＝gˊ(ε₂)．记h(x)＝fˊ(x)k(x)＝gˊ(x)在[ε₁ε₂上考虑h(x)k(x)则h(x)k(x)满足(1)的结论的条件所以存在ε∈(ε₁ε₂)∈(ab)使得hˊ(ε)＝kˊ(ε)即f〞(ε)＝g〞(ε)．(3)首先定义一个二次函数；y＝g(x)＝Ax²－Bx＋C．使g(0)＝0g(1)＝1g(4)＝2.得g(x)＝－1／6x²＋7／6x这样g(0)＝f(0)g(1)＝f(1)g(4)＝f(4)根据(2)的结论存在ε∈(04)使得f〞(ε)＝g〞(ε)而g〞(ε)＝－1／3所以f(ε)＝－1／3．
证：(1)令F(x)＝f(x)－g(x),显然F(x)在[a,b上满足罗尔定理的条件,因此在(a,b)内至少存在一点c,使Fˊ(c)＝0,即fˊ(c)＝gˊ(c)．(2)在[a,c上考虑函数f(x)和g(x)．则f(x)、g(x)满足(1)的结论的条件,所以,存在ε1∈(a,c),使得fˊ(ε1)＝gˊ(ε1)：同理存在点ε2∈(c,b),使得fˊ(ε2)＝gˊ(ε2)．记h(x)＝fˊ(x),k(x)＝gˊ(x),在[ε1,ε2上考虑h(x),k(x),则h(x),k(x)满足(1)的结论的条件,所以,存在ε∈(ε1,ε2)∈(a,b),使得hˊ(ε)＝kˊ(ε),即f〞(ε)＝g〞(ε)．(3)首先定义一个二次函数；y＝g(x)＝Ax2－Bx＋C．使g(0)＝0,g(1)＝1,g(4)＝2.得g(x)＝－1／6x2＋7／6x,这样,g(0)＝f(0),g(1)＝f(1),g(4)＝f(4),根据(2)的结论,存在ε∈(0,4),使得f〞(ε)＝g〞(ε),而g〞(ε)＝－1／3,所以f(ε)＝－1／3．