设α1 α2 … αm-1(m＞3)线性相关 向量组α2 … αm线性无关 试讨论 (1)α1能否由

正确答案：(1)α₁能由α₂α₃…α_m-1线性表示。因为α₂α₃…α_m线性无关所以其部分向量组α₂α₃α_m-1也线性无关．又由假设α₁α₂…α_m-1线性相关因此α₁能由α₂α₃…α_m-1线性表示． (2)α_m不能由α₁α₂…α_m-1线性表示． 用反证法证：设α_m能由α₁α₂…α_m-1线性表示即有实数k₁k₂…k_m-1使得α_m=k₁α₁+k₂α₂+…+k_m-1α_m-1 又由(1)α₁能由α₂α₃…α_m-1线性表示所以有l₂…l_m-1使α₁=l₂α₂+l₃α₃+…+l_m-1α_m-1 于是α_m=k₁(l₂α₂+…+l_m-1α_m-1)+k₂α₂+…+k_m-1α_m-1=(k₁l₂+k₂)α₂+(k₁l₃+k₃)α₃+…+(k₁l_m-1+k_m-1)α_m-1 即α_m能由α₂α₃…α_m-1线性表示这与α₂α₃…α_m线性无关的假设矛盾故α_m不能由α₁α₂…α_m-1线性表示．
(1)α1能由α2,α3,…,αm-1线性表示。因为α2,α3,…,αm线性无关,所以其部分向量组α2,α3,αm-1也线性无关．又由假设α1,α2,…,αm-1线性相关,因此α1能由α2,α3,…,αm-1线性表示．(2)αm不能由α1,α2,…,αm-1线性表示．用反证法证：设αm能由α1,α2,…,αm-1线性表示,即有实数k1,k2,…,km-1使得αm=k1α1+k2α2+…+km-1αm-1,又由(1),α1能由α2,α3,…,αm-1线性表示,所以有l2,…,lm-1使α1=l2α2+l3α3+…+lm-1αm-1,于是αm=k1(l2α2+…+lm-1αm-1)+k2α2+…+km-1αm-1=(k1l2+k2)α2+(k1l3+k3)α3+…+(k1lm-1+km-1)αm-1,即αm能由α2,α3,…,αm-1线性表示,这与α2,α3,…,αm线性无关的假设矛盾,故αm不能由α1,α2,…,αm-1线性表示．