设A B为两个n阶矩阵 证明R(A+B)≤R(A)+R(B)．请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：设A=(α₁α₂…α_n)B=(β₁β₂…β_n) 则A+B=[α₁+β₁α₂+β₂α_n+β_n=[r₁r₂…r_n其中α₁α₂…α_n和β₁β₂…β_n分别为AB的列向量组． 不妨设α₁α₂…α_r(r≤n)为A的列向量组的极大线性无关组β₁β₂…β_s(s≤n)为B的列向量组的极大线性无关组显然r₁r₂…r_n可由α₁α₂…α_nβ₁β₂…β_n线性表示从而它也可由α₁α₂…α_rβ₁β₂…β_s线性表示所以向量组r₁r₂…r_n的秩不会超过向量组α₁α₂…α_rβ₁β₂…β_s的秩即 R(A+B)≤r+s=R(A)+R(B)．
设A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn)则A+B=[α1+β1,α2+β2,αn+βn=[r1,r2,…,rn,其中α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn分别为A,B的列向量组．不妨设α1,α2,…,αr(r≤n)为A的列向量组的极大线性无关组,β1,β2,…,βs(s≤n)为B的列向量组的极大线性无关组,显然r1,r2,…,rn可由α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn线性表示,从而它也可由α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs线性表示,所以向量组r1,r2,…,rn的秩不会超过向量组α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs的秩,即R(A+B)≤r+s=R(A)+R(B)．