试用费马原理推导近轴条件下 单球面反射(如图8-1所示)的成像公式． 请帮忙给出正确答案和分析 谢谢

正确答案：如图8-1所示曲率中心为C的单球反射面∑与光轴的交点为顶点O由光轴上的物点Q发出的任意光线QM由左向右传播入射到单球反射面∑上．反射后的出射光线MQ'会聚于光轴上的像点Q'处． 设物方空间介质的折射率为n则像方宅间介质的折射率也为n．根据符号法则单球反射面∑的曲率半径OC=-r物距QO=-s像距OQ'=-s'．由几何关系可以得到轴上光线QOQ'的光程为 [QOQ'=n(-s)+n(-s') (1)轴外近轴光线QMQ'的光程为 [QMQ'=n·QM+n·MQ' (2)根据几何关系有 h²=(-x)[2(-r)-(-x)=2rx—x² (3) QM=[(-s+x)²+h^21/2=[(s—x)²+x(2r—x)^1/2=[s²—2x(s—r)^1/2 (4) MQ'=(-s'+x)²+h^21/2=[s^'2—2x(s'—r)^1/2 (5) 在近轴条件下｜x｜＜＜｜s｜｜x｜＜＜｜s｜｜x｜＜＜｜r｜将式(4)和式(5)作泰勒展开略去高阶小量得到 稍加整理即可得到单球反射面的近轴成像公式为 1/s' + 1/s=2/r 由焦点和焦距的定义出发从上式可以得到物像方焦距公式为 f=f'=r/2
这一结果表明：单球反射面成像系统的两个焦距的数值相等、符号相同．因此，物像方的两个焦点F和F'重合．这个题的数学推导过程使用了泰勒展开、忽略高阶小量的方法．在探索物理现象、揭示物理规律和解决物理问题时，这类近似方法有重要的应用价值．近似处理方法突出了问题的本质，从关键之处入手去解决问题，排除干扰因素，能够让最本质的特征逐渐凸现出来，有利于主要矛盾和本质问题的具体解决．