设A=(αij)∈Cn×n可逆 λ为特征值 则∥A-1∥2-1≤∣λ∣≤∥A∥2.请帮忙给出正确答案
设A=(αij)∈Cn×n可逆,λ为特征值,则∥A-1∥2-1≤∣λ∣≤∥A∥2.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:设A的特征值为λ对应的特征向量为x≠0则Ax=λx.因为∥λx∥2=λ∥x∥2∥Ax∥2≤∥A∥2∥x∥2所以λ≤∥A∥2.又因为同理可得∥A-1∥2-1≤∣λ∣.所以∥A-1∥2-1≤∣λ∣≤∥A∥2成立.
设A的特征值为λ,对应的特征向量为x≠0,则Ax=λx.因为∥λx∥2=λ∥x∥2,∥Ax∥2≤∥A∥2∥x∥2,所以λ≤∥A∥2.又因为,同理可得∥A-1∥2-1≤∣λ∣.所以∥A-1∥2-1≤∣λ∣≤∥A∥2成立.
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