设A=(αij)∈Cn×n可逆 λ为特征值 则∥A-1∥2-1≤∣λ∣≤∥A∥2.请帮忙给出正确答案

大学本科 已帮助: 时间:2024-11-12 01:20:47

设A=(αij)∈Cn×n可逆,λ为特征值,则∥A-1∥2-1≤∣λ∣≤∥A∥2.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

难度:⭐⭐⭐

题库:大学本科,理学,数学类

标签:特征值,正确答案,请帮忙

参考解答

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4j8***101

2024-11-12 01:20:47

正确答案:设A的特征值为λ对应的特征向量为x≠0则Ax=λx.因为∥λx∥2=λ∥x∥2∥Ax∥2≤∥A∥2∥x∥2所以λ≤∥A∥2.又因为同理可得∥A-12-1≤∣λ∣.所以∥A-12-1≤∣λ∣≤∥A∥2成立.
设A的特征值为λ,对应的特征向量为x≠0,则Ax=λx.因为∥λx∥2=λ∥x∥2,∥Ax∥2≤∥A∥2∥x∥2,所以λ≤∥A∥2.又因为,同理可得∥A-1∥2-1≤∣λ∣.所以∥A-1∥2-1≤∣λ∣≤∥A∥2成立.

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