设f(x)在(－∞ ＋∞)内可微 证明：在f(x)的任何两个零点之间必有f(x)＋fˊ(x)的一个零

正确答案：证：作辅助函数F(x)＝f(x)e^x显然F(x)在[αβ上连续且在(αβ)内可微其中αβ为f(x)的任意两个零点即f(α)＝f(β)＝0且α＜βF(α)＝f(a)e^a＝0＝f(β)e^β＝F(β)可知F(x)在[αβ上满足罗尔定理的条件于是至少存在一点ε∈(αβ)使Fˊ(ε)＝0．即e^εf(ε)＋e^εfˊ(ε)＝0亦即f(ε)＋fˊ(ε)＝0．命题得证．
证：作辅助函数F(x)＝f(x)ex显然F(x)在[α,β上连续,且在(α,β)内可微,其中α,β为f(x)的任意两个零点,即f(α)＝f(β)＝0,且α＜βF(α)＝f(a)ea＝0＝f(β)eβ＝F(β)可知F(x)在[α,β上满足罗尔定理的条件,于是至少存在一点ε∈(α,β),使Fˊ(ε)＝0．即eεf(ε)＋eεfˊ(ε)＝0,亦即f(ε)＋fˊ(ε)＝0．命题得证．