方阵A如果满足Am=I(m是某个正整数) 则称A是周期矩阵；使Am=I成立的最小正整数m称为A的周期
方阵A如果满足Am=I(m是某个正整数)，则称A是周期矩阵；使Am=I成立的最小正整数m称为A的周期．证明：复数域上周期为m的周期矩阵的特征值都是m次单位根。(注：如果一个复数z满足zm=1，则称z是一个m次单位根．)
如果A有特征值，则A的特征值是1或一1；
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参考解答
490***101
2024-11-13 17:28:49
正确答案：(1)设A为正交矩阵λ0为其任一特征值则有特征向量α≠0使得Aα=λ0α由于A是正交矩阵于是AA'=E故有 A'Aα=A'λ0α所以 α=λ0A'α于是又有 α'=(λ0A'α)'=λ0αA及 α'α=λ0α'Aα=λ0α'(λ0α)=λ02α'α．但由于α≠0有α'α>0故λ02=1从而λ0=1或λ0=一1．
(1)设A为正交矩阵,λ0为其任一特征值,则有特征向量α≠0使得Aα=λ0α,由于A是正交矩阵,于是AA'=E故有A'Aα=A'λ0α,所以α=λ0A'α于是又有α'=(λ0A'α)'=λ0αA及α'α=λ0α'Aα=λ0α'(λ0α)=λ02α'α．但由于α≠0,有α'α>0,故λ02=1,从而λ0=1或λ0=一1．
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