已知y1＝xex＋e2x y2＝xex＋e－x y3＝xex＋e2x－e－x是某二阶线性非齐次微分方

正确答案：设所求方程为y'＋py'＋qy＝f(x)只需求出pqf(x)即可． 由线性方程解的性质得y₁－y₃＝e^－x(y₁－y₂)＋(y₁－y₃)＝e^2x 是对应的齐次方程y'＋py'＋qy＝0的两个线性无关的解所以 λ₁＝－1λ₂＝2是特征方程λ²＋pλ＋q＝0的根由根与系数的关系得P＝－1q＝－2．将y₁＝xe^x＋e^2x代入方程y'＋Py'＋qy＝f(x)可得 f(x)＝(1—2x)e^x．所求方程为 y'－y'－2y＝(1—2x)e．
[分析由于二阶常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程．[评注1对于二阶常系数线性齐次微分方程y'＋py'＋qy＝0，函数Aeαx是其解的充要条件为λ＝α是特征方程λ2＋pλ＋q＝0的根；函数Aesinβx，Beαxcosβx，或eαx(Asinβx＋Bcosβx)是其解的充要条件为λ＝α土β是特征方程λ2＋pλ＋q＝0的根．[评注2对于本题，由于y1－y3＝e－x，(y1－y21)＋(y1－y3)＝e2x是对应的齐次方程y'＋py'＋qy＝0的两个线性无关的解，y2＋(y3－y1)＝xex是对应的非齐次方程的一个特解，所以，所求方程的通解为y＝C1e2x＋C2e－x＋xex．[评注3易求出y'＝2C1e2x－C2e－x＋xex＋ex，y'＝4C1e2x＋C2e－x＋xex＋2ex，从y，y'，y'中消去C2，C2，即可得到所求的二阶方程为y'－y'－2y＝(1—2x)ex．