设Α和B分别是n×S和S×P矩阵．n维行向量X满足XΑB=0．令V={Y|Y=XΑ XΑB=0)．求

正确答案：不难直接验证V构成一个线性空间．设W={X|XΑB=0)则W是方程组XΑB=0的解空间于是dim W=n－rank(ΑB)．令m=n－rank(ΑB)．令W⁰={X|XΑB=0XΑ=0则W⁰={X|XΑ=0)．于是W⁰是方程组XΑ=0的解空间．这样dim W⁰=n－rank(Α)=r．显然W⁰W．取W⁰的一组基α¹α²Α…α^r扩充为W的一组基α¹α²…α^rα^r+1…α^mV={Y|y=XΑXΑB=0)易见V=L(α¹Αα²Α…α^rΑα^r1Α…α^mΑ)．又αⁱΑ=01≤i≤r于是V=L(α^r+1Α…α^mΑ)． 下面证明α^r+1Α…α^mΑ线性无关．设k^r+1α^r－1Α+k^r+2α^r－2Α+2Α+…+设k^mα^mΑ=0则 (k^r+11α^r－1+k^r+21α^r－2+…+k^mα^m)Α=0．于是k^r+1α^r+1+k^r+2α^r+2+…+k^mα^m∈W0^{因此k_r－1α_r－1十k_r－2α_r+2+…+k_mα_m=l₁α₁+l₂α₂+…+l_rα_r．又α₁α₂…α_m线性无关因此有k_j=0l_i=0r+1≤j≤m1≤i≤r．因此dim V=m－r即dim V=n－rank(ΑB)－(n－rank(Α))=rank(Α)－rank(ΑB)．
不难直接验证V构成一个线性空间．设W={X|XΑB=0),则W是方程组XΑB=0的解空间,于是dimW=n－rank(ΑB)．令m=n－rank(ΑB)．令W0={X|XΑB=0,XΑ=0,则W0={X|XΑ=0)．于是W0是方程组XΑ=0的解空间．这样dimW0=n－rank(Α)=r．显然W0W．取W0的一组基α1,α2Α,…,αr,扩充为W的一组基α1,α2,…,αr,αr+1,…,αmV={Y|y=XΑ,XΑB=0),易见V=L(α1Α,α2Α,…,αrΑ,αr1Α,…,αmΑ)．又αiΑ=0,1≤i≤r,于是V=L(αr+1Α,…,αmΑ)．下面证明αr+1Α,…,αmΑ线性无关．设kr+1αr－1Α+kr+2αr－2Α+2Α+…+设kmαmΑ=0,则(kr+11αr－1+kr+21αr－2+…+kmαm)Α=0．于是kr+1αr+1+kr+2αr+2+…+kmαm∈W0,因此kr－1αr－1十kr－2αr+2+…+kmαm=l1α1+l2α2+…+lrαr．又α1α2,…,αm线性无关,因此有kj=0,li=0,r+1≤j≤m,1≤i≤r．因此dimV=m－r,即dimV=n－rank(ΑB)－(n－rank(Α))=rank(Α)－rank(ΑB)．}