设Α为n维线性空间V中线性变换Α关于某基的矩阵 求证rank(Α2)=rank(Α)当且仅当V=R(

正确答案：设α₁α₂…α_n为V的一组基Α在这组基下的矩阵为Α则线性变换Α²在这组基下的矩阵为Α²且R(Α)=L(Αα₁Αα₂…Αα_n)=L(Ααi₁Ααi₂…Ααi_s)其中Ααi₁Ααi₂…Ααi_s)是R(Α)的一组基．于是R(Α²)=L(Α²αi₁Α²αi₂…Α²αi_s)． 设rank(Α²)=rank(Α)则dim R(Α)=dim R(Α²)．于是Α²αi₁Α²αi₂…Α²αi_s是R(Α²)的一组基．任取α∈R(Α)且α∈N(Α)则α=α₁Ααi₁+α₂Ααi₂+…+α_sΑαi_s又Αα=0于是α₁Α²αi₁+α₂Α²αi₂+…+α_sΑ²αi_s=O．因为Α²αi₁.Α²αi₂…Α²αi_s线性无关我们有αi=01≤i≤S．因此α=0即有R(Α)∩N(Α)={0又dim R(Α)+dimN(Α)=dim V于是必有V=R(Α)⊕+N(Α)． 反之设V=R(Α)⊕N(Α)．任取α∈R(Α)有v中的元素β使α=Αβ．由直和的定义知存在β₁∈V和r∈N(Α)使β=Αβ₁－r于是有α=Αβ=Α²β₁即α=Α²β₁∈_R(Α²)故R(Α)R(Α²)．显然R(Α²)R(Α)这样R(Α²)=R(Α)即rank(Α²)=rank(Α)． 注 由该题结论可知若存在正整数m>1使Α^m=Α则有V=R(Α)⊕N(Α)．
设α1,α2,…,αn为V的一组基,Α在这组基下的矩阵为Α,则线性变换Α2在这组基下的矩阵为Α2,且R(Α)=L(Αα1,Αα2,…,Ααn)=L(Ααi1,Ααi2,…,Ααis),其中Ααi1,Ααi2,…,Ααis)是R(Α)的一组基．于是R(Α2)=L(Α2αi1,Α2αi2,…,Α2αis)．设rank(Α2)=rank(Α),则dimR(Α)=dimR(Α2)．于是Α2αi1,Α2αi2,…,Α2αis,是R(Α2)的一组基．任取α∈R(Α)且α∈N(Α),则α=α1Ααi1+α2Ααi2+…+αsΑαis,又Αα=0,于是α1Α2αi1+α2Α2αi2+…+αsΑ2αis=O．因为Α2αi1.Α2αi2,…,Α2αis线性无关,我们有αi=0,1≤i≤S．因此α=0,即有R(Α)∩N(Α)={0,又dimR(Α)+dimN(Α)=dimV,于是必有V=R(Α)⊕+N(Α)．反之,设V=R(Α)⊕N(Α)．任取α∈R(Α),有v中的元素β,使α=Αβ．由直和的定义知,存在β1∈V和r∈N(Α),使β=Αβ1－r于是有α=Αβ=Α2β1,即α=Α2β1∈_R(Α2),故R(Α)R(Α2)．显然R(Α2)R(Α),这样R(Α2)=R(Α),即rank(Α2)=rank(Α)．注由该题结论可知,若存在正整数m>1,使Αm=Α,则有V=R(Α)⊕N(Α)．