证明：方程｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx＝0在(－∞ ＋∞)内仅有两个实根．请帮忙给出正

正确答案：证：由于｜x｜^1／4＋｜x｜^1／2－1／2cosx为偶函数只要证明所给方程在(x＋∞)仅有一个实根即可．设F(x)＝x^1／4＋x^1／2－1／2cosx．先证根的存在性．因F(0)＝－1／2＜0可知x＝0不是方程F(x)＝0的根又因lim F(x)＝＋∞故存在一点x。＞0使得F(x。)＞0例如取x。＝1便有F(1)＝1＋1－1／2＞0于是由零点定理在区间(01)内F(x)＝0至少存在一个根． 注意到当x＞1时F(x)恒大于0故在区间(1＋∞)内方程F(x)＝0不可能有根．再证根的唯一性．因为0＜x＜1＜π／2时函数x^1／4、x^1／2－cosx都是单调增加的所以F(x)在(01)内单调增加从而F(x)＝0在(01)内仅有一个实根．综上又因为｜x｜^1／4＋｜x｜^1／2－1／2cosx为偶函数即所给方程在(－∞＋∞)内仅有两个实根．
证：由于｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx为偶函数,只要证明所给方程在(x,＋∞)仅有一个实根即可．设F(x)＝x1／4＋x1／2－1／2cosx．先证根的存在性．因F(0)＝－1／2＜0,可知x＝0不是方程F(x)＝0的根,又因limF(x)＝＋∞,故存在一点x。＞0,使得F(x。)＞0,例如,取x。＝1,便有F(1)＝1＋1－1／2＞0,于是,由零点定理,在区间(0,1)内F(x)＝0至少存在一个根．注意到当x＞1时,F(x)恒大于0,故在区间(1,＋∞)内方程F(x)＝0不可能有根．再证根的唯一性．因为0＜x＜1＜π／2时,函数x1／4、x1／2,－cosx都是单调增加的,所以F(x)在(0,1)内单调增加,从而F(x)＝0在(0,1)内仅有一个实根．综上,又因为｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx为偶函数,即所给方程在(－∞,＋∞)内仅有两个实根．